حساب معاملات سلسلة فورييه الحقيقية

سلسلة ريال فورييه - حساب المعاملات

كن واحدا $2\tau$- وظيفة دورية $\mathit{F}$ منح. نحن نفترض أن $\mathit{F}$ يمكن تمثيلها كسلسلة فورييه وفقًا لنوع المعادلة (سلسلة فورييه الحقيقية - مقدمة) ، والتي تكون معاكسة بالتساوي $\mathit{F}$ تتقارب - بتعبير أدق: هناك ثوابت حقيقية ${\mathit{أ}}_0,{\mathit{أ}}_1,{\mathit{أ}}_2,\dots ,{\mathit{ب}}_1,{\mathit{ب}}_2,\dots$ هكذا ، نحدد لكل منها $\mathit{ن}\in \mathbb{N}$ وظيفة ${\mathit{F}}_{\mathit{ن}}$ بالمعادلة (سلسلة فورييه الحقيقية - مقدمة) ، ${\mathit{F}}_{\mathit{ن}}$ ل $\mathit{ن}\to \infty$ متقاربة بشكل موحد $\mathit{F}$ هو. سنشتق أولاً صيغة لـ ${\mathit{أ}}_{\mathit{م}}$ مع أي $\mathit{م}\in {\mathbb{N}}_0$ هنا. للقيام بذلك ، نضرب $\mathit{F}$ مع $كوس(\mathit{م}\pi \mathit{ر}/\tau )$ والتكامل من $-\tau$ حتى $+\tau$. هناك $كوس(\mathit{م}\pi \mathit{ر}/\tau )$ يحد ، يتقارب على الاقتراح${\mathit{F}}_{\mathit{ن}}(\mathit{ر})كوس(\mathit{م}\pi \mathit{ر}/\tau )$، ينظر إليها على أنها وظيفة $\mathit{ر}\in ℝ$، بالتساوي ضد $\mathit{F}(\mathit{ر})كوس(\mathit{م}\pi \mathit{ر}/\tau )$. منذ ذلك الحين أيضا ${\mathit{F}}_{\mathit{ن}}(\mathit{ر})كوس(\mathit{م}\pi \mathit{ر}/\tau )$ لكل $\mathit{ن}$ من عند $-\tau$ حتى $+\tau$ قابلة للتكامل ، النظرية (سلسلة فورييه الحقيقية - شروط التقارب لتسلسلات الوظيفة) حول قابلية التبادل للقيمة الحدية والتكامل قابلة للتطبيق. لذلك نحصل عليه إذا كنا لا نزال من أجله${\mathit{F}}_{\mathit{ن}}(\mathit{ر})$ أدخل وفقًا للمعادلة مع مراعاة العلاقات المتعامدة (انظر المرجع) ،

$$\begin{array}{ll}\underset{-\tau }{\overset{+\tau }{\int }}كوس\left(\frac{\mathit{م}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)\mathit{F}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}& =\underset{\mathit{ن}\to \infty }{ليم}\underset{-\tau }{\overset{+\tau }{\int }}كوس\left(\frac{\mathit{م}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right){\mathit{F}}_{\mathit{ن}}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}\\ & =\underset{\mathit{ن}\to \infty }{ليم}(\frac{1}{2}{\mathit{أ}}_0\underset{-\tau }{\overset{+\tau }{\int }}كوس\left(\frac{\mathit{م}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)\text{د}\mathit{ر}\\ & +\sum _{\mathit{ن}=1}^{\mathit{ن}}{\mathit{أ}}_{\mathit{ن}}\underset{-\tau }{\overset{+\tau }{\int }}كوس\left(\frac{\mathit{م}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)كوس\left(\frac{\mathit{ن}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)\text{د}\mathit{ر}\\ & +\sum _{\mathit{ن}=1}^{\mathit{ن}}{\mathit{ب}}_{\mathit{ن}}\underset{-\tau }{\overset{+\tau }{\int }}كوس\left(\frac{\mathit{م}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)خطيئة\left(\frac{\mathit{ن}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)\text{د}\mathit{ر})\\ & ={\mathit{أ}}_{\mathit{م}}\tau \text{.}\end{array}$$

بالمثل نحصل عليه

$$\begin{array}{ll}\underset{-\tau }{\overset{+\tau }{\int }}خطيئة\left(\frac{\mathit{م}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)\mathit{F}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}& =\underset{\mathit{ن}\to \infty }{ليم}\underset{-\tau }{\overset{+\tau }{\int }}خطيئة\left(\frac{\mathit{م}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right){\mathit{F}}_{\mathit{ن}}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}\\ & =\underset{\mathit{ن}\to \infty }{ليم}(\frac{1}{2}{\mathit{أ}}_0\underset{-\tau }{\overset{+\tau }{\int }}خطيئة\left(\frac{\mathit{م}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)\text{د}\mathit{ر}\\ & +\sum _{\mathit{ن}=1}^{\mathit{ن}}{\mathit{أ}}_{\mathit{ن}}\underset{-\tau }{\overset{+\tau }{\int }}خطيئة\left(\frac{\mathit{م}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)كوس\left(\frac{\mathit{ن}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)\text{د}\mathit{ر}\\ & +\sum _{\mathit{ن}=1}^{\mathit{ن}}{\mathit{ب}}_{\mathit{ن}}\underset{-\tau }{\overset{+\tau }{\int }}خطيئة\left(\frac{\mathit{م}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)خطيئة\left(\frac{\mathit{ن}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)\text{د}\mathit{ر})\\ & ={\mathit{ب}}_{\mathit{م}}\tau \end{array}$$

لأي $\mathit{م}\in \mathbb{N}$. تذوب بعد ${\mathit{أ}}_{\mathit{م}}$ على التوالى. ${\mathit{ب}}_{\mathit{م}}$ وإعادة التسمية $\mathit{م}$ في $\mathit{ن}$ ثم يقدم الصيغ

$${\mathit{أ}}_{\mathit{ن}}=\frac{1}{\tau }\underset{-\tau }{\overset{+\tau }{\int }}كوس\left(\frac{\mathit{ن}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)\mathit{F}\left(\mathit{ر}\right)\text{د}\mathit{ر}$$

و

$${\mathit{ب}}_{\mathit{ن}}=\frac{1}{\tau }\underset{-\tau }{\overset{+\tau }{\int }}خطيئة\left(\frac{\mathit{ن}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)\mathit{F}\left(\mathit{ر}\right)\text{د}\mathit{ر}\text{,}$$

الأول ينطبق على الجميع $\mathit{ن}\in {\mathbb{N}}_0$، والثاني للجميع $\mathit{ن}\in \mathbb{N}$. لأن $كوس(0\pi \mathit{ر}/\tau )=1$ قابل للاستخدام ل ${\mathit{أ}}_0$ الصيغة الأبسط

$${\mathit{أ}}_0=\frac{1}{\tau }\underset{-\tau }{\overset{+\tau }{\int }}\mathit{F}\left(\mathit{ر}\right)\text{د}\mathit{ر}$$

اكتب.

من أجل الوصول إلى معادلات الحساب والمعاملات ، افترضنا أن سلسلة فورييه كانت معاكسة $\mathit{F}$ يتقارب بالتساوي. نسأل من $\mathit{F}$ تكامل فقط $-\tau$ حتى $+\tau$ما نريد أن نفعله من الآن فصاعدًا ، الجانب الأيمن ، وما زال واضحًا على ما يبدو ، هو الأرقام ${\mathit{أ}}_0,{\mathit{أ}}_1,{\mathit{أ}}_2,{\mathit{أ}}_3,\dots ,{\mathit{ب}}_1,{\mathit{ب}}_2,{\mathit{ب}}_3,\dots$ يمكن تعريفها بعد ذلك بواسطة و و. نسمي هذه الأرقام معاملات فورييه (الحقيقية) لـ $\mathit{F}$ (إذا كان الأمر كذلك ، فكيف تشكلت معهم سلسلة فورييه (مرجع) مقابل $\mathit{F}$ يتقارب ، لا نعرف مسبقا. ولكن المزيد عن ذلك لاحقًا) ، وهناك عدد من قواعد الحساب التي قد تكون مفيدة في بعض الأحيان. بادئ ذي بدء ، لدينا لواحد$2\tau$-دوري ، من $-\tau$ حتى $+\tau$ وظائف قابلة للتكامل $\mathit{جي}$ دائما

$$\underset{-\tau }{\overset{+\tau }{\int }}\mathit{جي}\left(\mathit{ر}\right)\text{د}\mathit{ر}=\underset{\mathit{ج}-\tau }{\overset{\mathit{ج}+\tau }{\int }}\mathit{جي}\left(\mathit{ر}\right)\text{د}\mathit{ر}$$

لأي $\mathit{ج}\in ℝ$ (بتعبير أدق: التكامل على الجانب الأيمن موجود ويساوي الجانب الأيسر) (برهان). بمعنى آخر: فترة التكامل $[-\tau ,+\tau ]$ قد يمر من خلال أي فاصل زمني آخر من الطول $2\tau$أي طول الفترة. تنطبق هذه القاعدة أيضًا على العلاقات ، وبما أن عمليات الدمج الكل $2\tau$- الوظائف الدورية هي. ينتج عن المزيد من القواعد للفرد والزوجي $\mathit{F}$. ما يلي مقدما. هو $\mathit{ج}$ رقم حقيقي غير سالب و $\mathit{جي}$ أ (ليس بالضرورة دوريًا) من $-\mathit{ج}$ حتى $+\mathit{ج}$ دالة قابلة للتكامل ، كما نعلم من حساب التفاضل والتكامل ،

$$\underset{-\mathit{ج}}{\overset{+\mathit{ج}}{\int }}\mathit{جي}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}=2\underset{0}{\overset{+\mathit{ج}}{\int }}\mathit{جي}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}\text{لو}\mathit{جي}(\mathit{ر})\text{مجرد}$$

و

$$\underset{-\mathit{ج}}{\overset{+\mathit{ج}}{\int }}\mathit{جي}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}=0\text{لو}\mathit{جي}(\mathit{ر})\text{الفردية}$$

لاحظ ذلك الآن $كوس(\mathit{ن}\pi /\tau )$ واحد على التوالي و $خطيئة(\mathit{ن}\pi \mathit{ر}/\tau )$ هي وظيفة فردية. إذا لاحظنا أيضًا القواعد المعتادة للمنتجات ذات الوظائف الفردية والزوجية ، فإن النتائج التالية. هو $\mathit{F}$ ثم العلاقات ، ويمكن استبدالها بما يلي:

$${\mathit{أ}}_{\mathit{ن}}=\frac{2}{\tau }\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}كوس\left(\frac{\mathit{ن}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)\mathit{F}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}$$

على التوالى.

$${\mathit{ب}}_{\mathit{ن}}=0$$

على التوالى.

$${\mathit{أ}}_0=\frac{2}{\tau }\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}\mathit{F}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}\text{.}$$

هو $\mathit{F}$ الفردية ، ثم العلاقات ، ويمكن استبدالها بـ:

$${\mathit{أ}}_{\mathit{ن}}=0$$

على التوالى.

$${\mathit{ب}}_{\mathit{ن}}=\frac{2}{\tau }\underset{0}{\overset{\tau }{\int }}خطيئة\left(\frac{\mathit{ن}\pi \mathit{ر}}{\tau }\right)\mathit{F}(\mathit{ر})\text{د}\mathit{ر}$$

على التوالى.

$${\mathit{أ}}_0=0\text{.}$$

أخيرًا ، يجب ذكر خاصية مهمة للصيغ ، وهي مفيدة لبعض المهام ، وهي خطيتها. هو $\mathit{جي}$ اخر $2\tau$ -دوري ، من $-\tau$ حتى $+\tau$ وظيفة قابلة للتكامل ، كذلك $\mathit{F}+\mathit{جي}$كيفية التحقق بسهولة. دعونا نشير إلى معاملات فورييه لـ $\mathit{F}$ على التوالى. $\mathit{جي}$ على التوالى. $\mathit{F}+\mathit{جي}$ مع $\mathit{أ}(\mathit{F}{)}_{\mathit{ن}},\mathit{ب}(\mathit{F}{)}_{\mathit{ن}}$ على التوالى. $\mathit{أ}(\mathit{جي}{)}_{\mathit{ن}},\mathit{ب}(\mathit{جي}{)}_{\mathit{ن}}$ على التوالى. $\mathit{أ}(\mathit{F}+\mathit{جي}{)}_{\mathit{ن}},\mathit{ب}(\mathit{F}+\mathit{جي}{)}_{\mathit{ن}}$، ثم ينطبق

$$\mathit{أ}(\mathit{F}+\mathit{جي}{)}_{\mathit{ن}}=\mathit{أ}(\mathit{F}{)}_{\mathit{ن}}+\mathit{أ}(\mathit{جي}{)}_{\mathit{ن}}$$

للجميع $\mathit{ن}\in {\mathbb{N}}_0$ و

$$\mathit{ب}(\mathit{F}+\mathit{جي}{)}_{\mathit{ن}}=\mathit{ب}(\mathit{F}{)}_{\mathit{ن}}+\mathit{ب}(\mathit{جي}{)}_{\mathit{ن}}$$

للجميع $\mathit{ن}\in \mathbb{N}$. المحددة $\alpha$ أي رقم حقيقي ، لذلك لدينا أيضًا

$$\mathit{أ}(\alpha \cdot \mathit{F}{)}_{\mathit{ن}}=\alpha \cdot \mathit{أ}(\mathit{F}{)}_{\mathit{ن}}$$

للجميع $\mathit{ن}\in {\mathbb{N}}_0$ و

$$\mathit{ب}(\alpha \cdot \mathit{F}{)}_{\mathit{ن}}=\alpha \cdot \mathit{ب}(\mathit{F}{)}_{\mathit{ن}}$$

للجميع $\mathit{ن}\in \mathbb{N}$. $\mathit{أ}(\alpha \cdot \mathit{F}{)}_{\mathit{ن}}$ و $\mathit{ب}(\alpha \cdot \mathit{F}{)}_{\mathit{ن}}$ تشير إلى معاملات فورييه للدالة $\alpha \cdot \mathit{F}$، أي $2\tau$-دوري ومن $-\tau$ حتى $+\tau$ يمكن أن تتكامل. - اتبع ببساطة من خطية التكامل.

إذا كنت تريد ، يمكنك إلقاء نظرة على بعض الأمثلة لتوضيح ذلك.

دعنا نلخص: في البداية كان لدينا التقارب المنتظم لسلسلة فورييه $\mathit{F}$ ضد $\mathit{F}$ المقدمة للحصول على الصيغ وللمعامِلات. ثم أسقطنا هذا المطلب ، فقط تكامل $\mathit{F}$ خلال الفترة $[-\tau ,+\tau ]$ يتم تحديد معاملات فورييه بواسطة الصيغ ، وخصائصها التي بحثنا عنها بعد ذلك. مسألة ما إذا كان الأمر كذلك ، وبأي معنى ، فإن سلسلة فورييه التي تشكلت بهذه المعاملات (المرجعية) ظلت بلا إجابة $\mathit{F}$ يتقارب. ننتقل إلى هذا السؤال بعد ذلك.

فيديو: مثال على متسلسلة فورير الجزء الأول. Example on Fourier Series part one (أغسطس 2022).