كيمياء

حساب معاملات سلسلة فورييه الحقيقية

حساب معاملات سلسلة فورييه الحقيقية



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

سلسلة ريال فورييه - حساب المعاملات

كن واحدا 2τ- وظيفة دورية F منح. نحن نفترض أن F يمكن تمثيلها كسلسلة فورييه وفقًا لنوع المعادلة (سلسلة فورييه الحقيقية - مقدمة) ، والتي تكون معاكسة بالتساوي F تتقارب - بتعبير أدق: هناك ثوابت حقيقية أ0,أ1,أ2,,ب1,ب2, هكذا ، نحدد لكل منها ن وظيفة Fن بالمعادلة (سلسلة فورييه الحقيقية - مقدمة) ، Fن ل ن متقاربة بشكل موحد F هو. سنشتق أولاً صيغة لـ أم مع أي م0 هنا. للقيام بذلك ، نضرب F مع كوس(مπر/τ) والتكامل من -τ حتى +τ. هناك كوس(مπر/τ) يحد ، يتقارب على الاقتراحFن(ر)كوس(مπر/τ)، ينظر إليها على أنها وظيفة ر، بالتساوي ضد F(ر)كوس(مπر/τ). منذ ذلك الحين أيضا Fن(ر)كوس(مπر/τ) لكل ن من عند -τ حتى +τ قابلة للتكامل ، النظرية (سلسلة فورييه الحقيقية - شروط التقارب لتسلسلات الوظيفة) حول قابلية التبادل للقيمة الحدية والتكامل قابلة للتطبيق. لذلك نحصل عليه إذا كنا لا نزال من أجلهFن(ر) أدخل وفقًا للمعادلة مع مراعاة العلاقات المتعامدة (انظر المرجع) ،

-τ+τكوسمπرτF(ر)در=ليمن-τ+τكوسمπرτFن(ر)در=ليمن(12أ0-τ+τكوسمπرτدر+ن=1نأن-τ+τكوسمπرτكوسنπرτدر+ن=1نبن-τ+τكوسمπرτخطيئةنπرτدر)=أمτ .

بالمثل نحصل عليه

-τ+τخطيئةمπرτF(ر)در=ليمن-τ+τخطيئةمπرτFن(ر)در=ليمن(12أ0-τ+τخطيئةمπرτدر+ن=1نأن-τ+τخطيئةمπرτكوسنπرτدر+ن=1نبن-τ+τخطيئةمπرτخطيئةنπرτدر)=بمτ

لأي م. تذوب بعد أم على التوالى. بم وإعادة التسمية م في ن ثم يقدم الصيغ

أن=1τ-τ+τكوسنπرτFردر

و

بن=1τ-τ+τخطيئةنπرτFردر ,

الأول ينطبق على الجميع ن0، والثاني للجميع ن. لأن كوس(0πر/τ)=1 قابل للاستخدام ل أ0 الصيغة الأبسط

أ0=1τ-τ+τFردر

اكتب.

من أجل الوصول إلى معادلات الحساب والمعاملات ، افترضنا أن سلسلة فورييه كانت معاكسة F يتقارب بالتساوي. نسأل من F تكامل فقط -τ حتى +τما نريد أن نفعله من الآن فصاعدًا ، الجانب الأيمن ، وما زال واضحًا على ما يبدو ، هو الأرقام أ0,أ1,أ2,أ3,,ب1,ب2,ب3, يمكن تعريفها بعد ذلك بواسطة و و. نسمي هذه الأرقام معاملات فورييه (الحقيقية) لـ F (إذا كان الأمر كذلك ، فكيف تشكلت معهم سلسلة فورييه (مرجع) مقابل F يتقارب ، لا نعرف مسبقا. ولكن المزيد عن ذلك لاحقًا) ، وهناك عدد من قواعد الحساب التي قد تكون مفيدة في بعض الأحيان. بادئ ذي بدء ، لدينا لواحد2τ-دوري ، من -τ حتى +τ وظائف قابلة للتكامل جي دائما

-τ+τجيردر=ج-τج+τجيردر

لأي ج (بتعبير أدق: التكامل على الجانب الأيمن موجود ويساوي الجانب الأيسر) (برهان). بمعنى آخر: فترة التكامل [-τ,+τ] قد يمر من خلال أي فاصل زمني آخر من الطول 2τأي طول الفترة. تنطبق هذه القاعدة أيضًا على العلاقات ، وبما أن عمليات الدمج الكل 2τ- الوظائف الدورية هي. ينتج عن المزيد من القواعد للفرد والزوجي F. ما يلي مقدما. هو ج رقم حقيقي غير سالب و جي أ (ليس بالضرورة دوريًا) من -ج حتى +ج دالة قابلة للتكامل ، كما نعلم من حساب التفاضل والتكامل ،

-ج+ججي(ر)در=20+ججي(ر)در لو جي(ر) مجرد

و

-ج+ججي(ر)در=0 لو جي(ر)الفردية

لاحظ ذلك الآن كوس(نπ/τ) واحد على التوالي و خطيئة(نπر/τ) هي وظيفة فردية. إذا لاحظنا أيضًا القواعد المعتادة للمنتجات ذات الوظائف الفردية والزوجية ، فإن النتائج التالية. هو F ثم العلاقات ، ويمكن استبدالها بما يلي:

أن=2τ0τكوسنπرτF(ر)در

على التوالى.

بن=0

على التوالى.

أ0=2τ0τF(ر)در .

هو F الفردية ، ثم العلاقات ، ويمكن استبدالها بـ:

أن=0

على التوالى.

بن=2τ0τخطيئةنπرτF(ر)در

على التوالى.

أ0=0 .

أخيرًا ، يجب ذكر خاصية مهمة للصيغ ، وهي مفيدة لبعض المهام ، وهي خطيتها. هو جي اخر 2τ -دوري ، من -τ حتى +τ وظيفة قابلة للتكامل ، كذلك F+جيكيفية التحقق بسهولة. دعونا نشير إلى معاملات فورييه لـ F على التوالى. جي على التوالى. F+جي مع أ(F)ن,ب(F)ن على التوالى. أ(جي)ن,ب(جي)ن على التوالى. أ(F+جي)ن,ب(F+جي)ن، ثم ينطبق

أ(F+جي)ن=أ(F)ن+أ(جي)ن

للجميع ن0 و

ب(F+جي)ن=ب(F)ن+ب(جي)ن

للجميع ن. المحددة α أي رقم حقيقي ، لذلك لدينا أيضًا

أ(αF)ن=αأ(F)ن

للجميع ن0 و

ب(αF)ن=αب(F)ن

للجميع ن. أ(αF)ن و ب(αF)ن تشير إلى معاملات فورييه للدالة αF، أي 2τ-دوري ومن -τ حتى +τ يمكن أن تتكامل. - اتبع ببساطة من خطية التكامل.

إذا كنت تريد ، يمكنك إلقاء نظرة على بعض الأمثلة لتوضيح ذلك.

دعنا نلخص: في البداية كان لدينا التقارب المنتظم لسلسلة فورييه F ضد F المقدمة للحصول على الصيغ وللمعامِلات. ثم أسقطنا هذا المطلب ، فقط تكامل F خلال الفترة [-τ,+τ] يتم تحديد معاملات فورييه بواسطة الصيغ ، وخصائصها التي بحثنا عنها بعد ذلك. مسألة ما إذا كان الأمر كذلك ، وبأي معنى ، فإن سلسلة فورييه التي تشكلت بهذه المعاملات (المرجعية) ظلت بلا إجابة F يتقارب. ننتقل إلى هذا السؤال بعد ذلك.


فيديو: مثال على متسلسلة فورير الجزء الأول. Example on Fourier Series part one (أغسطس 2022).